基礎理論(2)

基礎理論

応用数学

収集したデータを分析し、数学的な知識を他の分野に適用することを目的とした数学

確率的手法

収集したデータがどの程度正確かを判断するために使用

場合の数

ある事象(出来事)が起こる可能性の総数のこと

基本の法則

名　称	説　明	法　則
和の法則	2つの事象A、Bが同時に起こらないことを前提とした場合、 事象Aの起こる場合がm通り、事象Bが起こる場合がn通りのときに、 事象A、Bが起こる場合の数の総数	m＋n通り
積の法則	2つの事象A、Bが同時に起こることを前提とした場合、 事象Aの起こる場合がm通り、事象Bが起こる場合がn通りのときに、 事象A、Bが起こる場合の数の総数	m×n通り

順列

あるデータの集まりの中から任意の個数を取り出して並べる方法の総数のこと

異なるｎ個から任意にｒ個取り出して、1列に並べた順列の数を　nPr　と表した場合 nPr＝ｎ×(ｎ−1)×(ｎ−2)×-----×(ｎ−ｒ＋1)

組合せ

あるデータの集まりの中から任意の個数を取り出す方法の総数のこと

異なるｎ個から任意にｒ個取り出す組合せの数を　nCr　と表した場合

確率

すべての事象の数に対する、ある事象の起こりうる数の割合

確率の基本定理

確率の基本定理

名　称	説　明
加法定理	・2つの事象A、Bが排反でない場合、事象AまたはBが起こる確率 　　　　P(AまたはB)＝P(A)＋P(B)−P(AかつB) ・2つの事象A、Bが排反である場合、事象AまたはBが起こる確率 　　　　P(AまたはB)＝P(A)＋P(B)
乗法定理	・2つの事象A、Bが独立である場合、事象AかつBが同時に起こる確率 　　　　P(AかつB)＝P(A)×P(B) ・事象Aが起こったという条件下で事象Bが起こる確率(条件付き確率)

排反：2つの事象A、Bが決して同時に起こらないこと
独立：2つの事象A、Bが関係なく、同時に起こったり起こらなかったりすること

マルコフ課程

ある事象が起こる確率が過去の状態に関係なく、現在の状態だけに影響を受ける場合の課程のこと。「ひとつ前の状態にのみ依存する条件付き確率」
特にひとつの状態だけの影響を受ける場合を「単純マルコフ課程」という

≪情報処理試験でよく出る問題≫
表は、ある地方の天気の移り変わりを示したものである。例えば、晴れの翌日の天気は、40％の確率で晴れ、40％の確率で曇り、20％の確率で雨であることを表している。天気の移り変わりが単純マルコフ課程であると考えたとき、雨の2日後が晴れである確率は何％であるか。

　雨→晴れ→晴れ　0.3×0.4＝0.12
　雨→曇り→晴れ　0.5×0.3＝0.15
　雨→雨→晴れ　　0.2×0.3＝0.06
　雨の2日後が晴れとなる確率は、これらの和
　ゆえに　0.12＋0.15＋0.06＝0.33

確率分布

事象が起こる確率が変数によって決まる場合、変数と各事象が起こる確率との関係のこと
この変数を「確率変数」という

統計

収集したデータの規則性を調べたり、予測したりするための手法

データの代表値

データ全体の特徴をひとつの数値で表現するもの

値	説明
平均値	全体の合計をデータ数で割った値のこと。一般的に"平均値"と呼んでいるものは、"算術平均"のこと
メジアン(中央値)	データを昇順、または降順に並べたときに中央に位置する値のこと。データが偶数の場合、中央に位置する2つの値の平均を使う
モード(最頻値)	データの出現度数の最も高い値のこと

代表値の一般形式

モード(最頻値)：出現回数の一番多い値 メジアン(中央値)：上から数えても、下から数えても真ん中の値

データの散布度

個々のデータが平均値を中心に周囲の値がどのようにばらついているかの度合いを示す数値を表現する。同じ平均値を持つデータの集まりでも上のグラフのように特徴が異なる場合がある。この違い(変量がどのように散らばっているか)を表現する数値。各変量の平均からの隔たりが大きいか小さいかを調べる「分散」「標準偏差」変量の分布の幅、散らばり具合の幅が大きいか、小さいかを示す「レンジ」がある

値	説明	計算式
分散	標本が標本平均からどれだけ散らばっているか	([個々のデータの値]−平均)を2乗した値の平均
標準偏差	統計値や確率変数の散らばり具合（ばらつき）を表す数値	分散の平方根を取ったもの
レンジ(範囲)	変動・影響などの範囲。分布幅を示す数値	データの最大値と最小値の差

レンジ＝最大値−最小値

散布図

２つの属性値を縦軸と横軸にとって、２種類のデータ間の相関関係を表したもの 　

ヒストグラム

集計したデータの範囲をいくつかの区間に分け、区間に入るデータの数を棒グラフで表したもの。データの全体像、中心の位置、ばらつきの大きさなどを確認できる。

推定

データ数が多く、すべてのデータを調査することが困難な場合、いくつかのデータを取り出して調査を行う。すべてのデータ「母集団」、いくつかのデータを「標本」という
「推定」とは、このデータ数の少ない標本から、できるだけ精度の高い平均値を求め、母集団の傾向を判断するときに使われる統計手法。標本の平均値から母集団の平均値(母平均)を推測し、母集団の統計学的な性質を推測する

数値計算

対数

乗算や除算を加算や減算で行うことが出来る数値計算方法のひとつ。対数を使用することで計算を簡略化できるというメリットがある

　　

数式処理

数値の代わりに文字列を使って一般的な数を表現する「代数」を利用することで、計算式を記号的に処理すること

名称	説明
因数分解	計算式を分解し、いくつかの計算式の積の形を変換すること
微分	時間経過にともなって変化する関数の増減を調べる
積分	図形の面積や立体の体積などを微小な要素の集まりとして計算すること 微分で行った操作の反対を行うと微分になる

数値解析

正確な解を求めることが出来ない数学上の問題を近似的に手法のこと。数値解析で求める近似的な解のことを「解の近似値」という
実際の現象をコンピュータ上でシュミレーションするために利用される

二分法

方程式の解を含む区間の中間点を求める方法

補間法

補間：複数の点を通る多項式の曲線で、あるxの値に対するyの値を計算すること

数値解析による誤差

数値解析で発生する誤差

名称	説明
絶対誤差	近似値から真値を引いて得られる誤差
相対誤差	近似値に含まれる誤差の割合で、絶対誤差を真値で除算して得られる誤差
打切り誤差	浮動小数点数の計算処理の計算順序などの指定した規則によって発生する誤差
丸め誤差	浮動小数点数で最下位桁より小さい部分で発生する誤差

グラフ理論

ある要素を関連付けて整理したり、分析したりするために、要素間のつながりをグラフとして分析する手法
点と辺で構成され、点と点のつながり方を表す。ひとつの点についている辺の数を「次数」という

待ち行列理論

顧客がサービスを受けるために行列に並ぶような確率的に挙動するシステムの混雑現象を、数理モデルを用いて解析することを目的とした理論
電話交換機、情報ネットワーク、生産システム、空港や病院などの設計や性能評価に応用される
性能評価指標としては、待ち行列長・待ち時間・スループットなどが用いられる
■Ｍ／Ｍ／１モデル■
ケンドールの記法で待ち行列のモデル
以下の３つの条件が成り立っている状態
●サービス要求の到着間隔がランダム(ポアソン分布)
●窓口を使用する時間は要求ごとにランダム(指数分布)
●待ち行列のサービス窓口は１個
※約束事：行列へ割り込む、列の途中で抜け出すことは考えない。サービス要求は到着順に受け付ける

平均到着率(λ)

単位時間あたりに到着する人(モノ)の数のこと
到着間隔：ある人(モノ)が到着してから次の人(モノ)が到着するまでの時間間隔のこと

平均到着率＝λ 平均到着間隔(TA)＝1／λ

平均サービス率(μ)

一つの窓口でどれだけサービスを処理できるかの割合のこと
サービス時間：並んでいる人(モノ)を処理する時間

平均サービス率＝μ 平均サービス時間(TS)＝1／μ

平均利用率(ρ)

窓口がどれだけ利用されているかということ

平均利用率(ρ)＝平均利用率(λ)×平均サービス時間(TS) 　　　　　　＝平均利用率(λ)／平均サービス率(μ)

平均待ち時間(TW)

サービスを受けるまでの待ち時間のこと
到着間隔：ある人(モノ)が到着してから次の人(モノ)が到着するまでの時間間隔のこと

TW：平均待ち時間 TS：平均サービス時間

平均応答時間(T)

平均待ち時間と平均サービス時間を足した時間

T＝TW＋TS

待ち行列(L)

窓口に待っている人(モノ)の数

L＝ρ／(1−ρ)